o všem možném

Malá matematická procitnutí I - kružnice a číslo π

Jak už to bývá člověk ve škole někdy nedával dost pozor nebo bral věci prostě tak jak jsou. Tak třeba základní vzorce pro obvod a obsah kruhu každý zná, a to včetně mě :) Proč jsou ale tyhle vzorečky takové jaké jsou? A jaký důkaz k nim vede?

Přijmeme-li základní fakt že obvod kružnice je přímo úměrný jejímu průměru máme hned definici čísla π

obvod / průměr = π

Od toho je jenom krůček k vzorci pro obvod kružnice = 2πr

Tady je ještě všechno jasné a jednoduché, ale teď jak z toho vyvodit vzorec pro obsah kružnice? Úvahu začneme následujícím obrázkem:

Do kružnice vepíšeme pravidelní N-úhelník. Ten je složen z N identických rovnoramených trojúhelníků SAB jejichž obsah je roven polovině součinu základny AB a výšky h.

Pokud tedy obsah trojúhelníku vynásobíme N dostaneme celý obsah N-úhelníku. Tzn. obsah mnohoúhelníku = 1/2 * obvod mnohoúhelníku (N * AB) * h

A teď přijde to nejlepší. Pokud necháme N růst nadevšechny meze (k nekonečnu) začne se obvod mnohoúhelníku přibližovat obvodu kružnice do které je vepsán a zárověň se výška h začne přibližovat poloměru této kružnice.

A, voilá, máme tady známý vzorec :)

Tedy po úpravě:

obsah kruhu = 1/2 * (2πr) * r = πr²

No není to krása? :)